Физика

Введение

В окружающем нас мире существует порядок, то есть происходящие явления подчиняются закономерностям. Цель физики - изучить и использовать этот порядок. Методом в физике является введение понятий, таких как скорость, сила, давление, описывающих реальные события, и формулировка законов, связывающих эти понятия. Физическую задачу, переведенную на язык этих понятий, назовем моделью реальной ситуации. После такого перевода задача часто становится чисто математической. Еще не создана модель, описывающая все физические явления.

1. Понятие силы. Гидростатика.

Силы.

Будем пока считать телом всю материю, находящуюся внутри какого-то объема. Любые два тела действуют друг на друга с какой-то силой. Сила имеет величину и направление, поэтому является векторной величиной. Сила имеет так же точку приложения, но мы пока этого не учитываем.

Закон суперпозиции сил:

F1®3+F2®3=F1,2®3, F3®1+F3®2=F3®1,2.

Результирующей силой, действующей на тело, называется сумма всех сил, действующих на это тело.

Упр. 1. Попытаться понять, что на очень маленькое тело действует маленькая результирующая сила.

Упр. 2. Попытаться понять, что на неподвижное тело действует нулевая результирующая сила.

Третий закон Ньютона. F1®2=F2®1.

Упр. 3. а) Попытаться интуитивно понять справедливость третьего закона Ньютона.

б) Доказать третий закон Ньютона, считая, что взаимодействие между первым и вторым телом передается через очень маленькое третье тело.

Упр. 4. Есть n тел, взаимодействующих друг с другом и с другими телами. Пусть Fi - результирующая сила, действующая на i-ое тело, F - результирующая сила, действующая на систему этих тел (ее можно рассматривать как одно тело). Доказать: F=åFi.

Пусть взаимодействие двух тел передается через поверхность. Рассмотрим маленький участок этой поверхности площади S, далее будем называть его площадкой. Через него первое тело действует на второе с силой F. Разложим ее на две составляющие - перпендикулярную поверхности F^ и касательную к ней F||. Давлением через площадку назовем величину P=, а касательным напряжением - .

Свойства жидкости.

Все, что здесь говорится про жидкость, верно и для газа.

Основным свойством жидкости является

(1) безразличие к любому изменению относительного положения частей.

Это свойство эквивалентно

(2) отсутствию касательных напряжений в жидкости.

Так же касательные напряжения отсутствуют между жидкостью и стенкой сосуда.

Упр. 5. Попытайтесь доказать эквивалентность свойств (1) и (2).

Тут следует сделать две оговорки.

Во-первых, пока пренебрежем силами поверхностного натяжения жидкости. Эти силы, например, собирают жидкость в капли, поднимают по капилляру и т.д. Если не пренебрегать поверхностным натяжением, то свойства (1) и (2) можно сформулировать следующим образом:

(1а) Безразличие жидкости к любому изменению относительного положения частей, не изменяющему форму ее поверхности.

(2а) Отсутствие касательных напряжений через площадки, не пересекающие поверхность жидкости.

Во-вторых, в жидкости или в газе присутствуют силы вязкости, препятствующие быстрому перемещению частей жидкости друг относительно друга. Силы вязкости представляют собой касательные напряжения. Эти силы тем больше, чем быстрее это перемещение. При медленном перемещении этими силами можно пренебречь. Жидкости сильно различаются по вязкости. Аморфные твердые тела, например, вар, асфальт, стекло можно считать жидкостями с очень большой вязкостью.

Упр. 6. Сформулировать свойства (1) и (2) для вязкой жидкости.

Закон Паскаля.

1) Давление в жидкости в точке не зависит от ориентации площадки. Поэтому можно говорить о давлении в точке, не уточняя ориентацию площадки.

2) В поле тяжести в неподвижной жидкости разность давлений в двух точках DP=rgh  (DP=PB-PA).

Если считать, что давление на поверхности равно нулю (можно сдвинуть шкалу давлений на Pатмосферное) и высоту отсчитывать от поверхности, то P=rgh.

Первая часть закона Паскаля следует из отсутствия касательных напряжений. Сначала докажем равенство давлений для любых двух перпендикулярных площадок. Рассмотрим призму, две боковые грани которой являются одинаковыми прямоугольниками, имеющие интересующие нас ориентации. Будем считать, что призма настолько мала, что сила тяжести, действующая на нее пренебрежимо мала по сравнению с силами давления на ее грани.

Упр. 7. а) Показать, что F3=-(F1+F2).  б) P1=P2.

Упр. 8. Доказать, что из равенства давлений через любые две перпендикулярные площадки следует независимость давления от ориентации площадки.

Таким образом, первая часть закона Паскаля доказана. Перейдем ко второй части.

 

Упр. 9. Показать, что PA=PB:

 

 

 

Упр. 10. Показать, что PB=PA+rgh:

 

 

 

 

 

Упр. 11. Доказать: DP=rgh:

 

 

 

 Закон Архимеда. На тело, со всех сторон окруженное жидкостью, или на плавающее тело со стороны жидкости действует сила (сила Архимеда), направленная вверх и равная весу жидкости, вытесненной телом.

Упр. 12. Доказать закон Архимеда, для этого:

а) Показать, что на поверхность тела действует такая же сила, какая действовала бы на ту же поверхность, если вместо тела была бы жидкость.

б) Использовать то, что сумма сил, на эту жидкость, равна нулю, см. упр. 2.

Упр. 13. Пусть объем V жидкости ограничен двумя поверхностями, через которые на этот объем действуют силы F1 и F2. Доказать: F1+F2+rgV=0. Доказать, что это также верно, если первая поверхность является участком поверхности какого-то тела, а вторая поверхность может проходить внутри этого тела, сила F2 берется такой, как если бы с внешней стороны этой поверхности находилась бы жидкость.

Разберем задачу 9 (про батискаф).

Упр. 14. Учитывая уравновешенность батискафа в воде и равенство масс его половинок, показать, что сила, с которой одна половина батискафа действует на другую, равна силе давления через круг, разделяющий эти половинки, если бы на месте батискафа была бы вода.

Упр. 15. Показать, что сумма сил, действующих на два маленьких центрально-симметричных участка этого круга, не зависит от его ориентации. (Имеется в виду величина этой суммы сил, направление будет, естественно, перпендикулярно кругу.)

Рассмотрим задачу 14 (про сосиску). Сначала решите следующую задачу.

Упр. 16. Давление внутри мяча радиуса r равно P. Какое напряжение (сила на единицу длины) испытывает материал, из которого сделан мяч?

В случае трубы и сосиски мы имеем одну и ту же ситуацию: внутри трубки находится какое-то вещество, которое распирает ее с одинаковым давлением во все стороны.

Упр. 17. Во сколько раз напряжение через линию, проходящую вдоль трубы больше, чем через линию, проходящую поперек нее?

Упр. 18. Показать, что если из-за небольшого различия прочности трубы или давления в различных ее точках, труба порвется в точке A, то дальше она будет рваться в точке B или C, а не в точках D или E.

 Задачи.

1.      Вес тела в воздухе m, в воде m1. Найти его объем и плотность. (Таким способом Архимед узнал плотность короны короля, уличив мастеров).

2.      Будут ли плавать на поверхности воды или утонут два связанных бруска одинаковой массы с плотностями 0,9 и 1.1?

3.      В плавающую кастрюлю с водой доливают еще воды. Как изменится разность уровней воды в кастрюле и вне нее? Учитывать толщину стенок кастрюли.

4.      а) В сосуде с водой плавает кусок льда, внутри которого находится кусок свинца. Изменится ли уровень воды в сосуде, когда лед растает?

б) Что будет, если внутри льда находится не свинец, а пузырьки воздуха?

в) В сосуде с соленой водой плавает пресный лед. (Чем больше соленость воды, тем больше ее плотность.)

5.      Расширяющийся и сужающийся кверху сосуды нагревают (при этом вода в них расширяется). Как изменится давление на дно в обоих случаях?

6.      В колокол, плотно лежащий на столе, через отверстие вверху наливают воду. Когда вода доходит до отверстия, она приподнимает колокол и начинает вытекать снизу. Найти массу колокола, если он имеет объем V, высоту h и площадь основания S.

7.      а) В дне сосуда отверстие площадью S герметично закрыто пробкой, объем которой над уровнем дна равен V. Плотность жидкости в сосуде r, высота ее уровня h. При какой минимальной массе пробка не всплывет.

б) Разрешите следующий парадокс. Мы видим, что сила Архимеда, действующая на ту часть поверхности пробки, которая находится в воде, не зависит от формы пробки при ее постоянном объеме. Зафиксируем этот объем настолько большим, чтобы сила Архимеда была направлена вверх. Рассмотрим пробку с таким объемом, которая представляет собой, вертикальный цилиндр, поперечное сечение которого совпадает с формой отверстия. Силы давления на боковые стенки пробки не дают вертикальной составляющей (их сумма вообще равна нулю), поэтому сила Архимеда, определяется давлением на верхнюю стенку и направлена вниз. Противоречие.

8.      Между жидкостями с плотностями r1 и r2 плавает шарик. Какова его плотность, если его плотность, если его центр находится на уровне раздела жидкостей?

9.      Докажите, что сила, с которой прижимаются половины плавающего, полностью погруженного в воду сферического батискафа друг к другу, не зависит от наклона плоскости соприкосновения полусфер батискафа, если его центр находится на одном уровне.

10.  Показать, что в сосуде Мариотта, показанного на рисунке а), давление на уровне крана будет оставаться постоянным при выливании из него воды, пока уровень не опустится до нижнего края трубки. Поэтому, вода будет выливаться равномерно. То же самое имеет место в случае, показанном на рисунке б), и при выливании воды из опрокинутой бутылки.

11.  Достаточно длинная открытая снизу трубка с плотно пригнанным поршнем, который может все же двигаться по трубке без трения, находится под водой и удерживается с помощью веревки. Верхний конец трубки над поршнем пустой. Как зависит сила натяжения веревки от параметров системы?

12.  (на повторение) На дне большого закрытого сосуда, заполненного водой (плотность r), лежит перевернутая чашка массы m, собственным объемом V и внутренним объемом V1. Чашка герметично накрывает часть дна площадью S. Внутренность чашки заполнена ртутью (плотность r1).

а) Определить при какой высоте h столба воды в сосуде чашка оторвется от его дна, и ртуть начнет вытекать из-под ее краев.

б) Найдите высоту ртути в полости, когда из сосуда откачают всю воду.

13.  Одинаково ли чувствует себя неподвижный человек (с точки зрения распределения нагрузок) в невесомости и в воде? Плотность воды приблизительно равна плотности человека.

14.  Почему сосиска в кипятке лопается вдоль, а не поперек? По той же причине трещина в лопающихся трубах, когда в них зимой замерзает вода, всегда идет вдоль трубы.